4 Inferencia

Objetivos

Al terminar este capítulo, el lector debería ser capaz de:

Enunciar los supuestos del Modelo Lineal Clásico (RLM.1–RLM.6) y explicar qué añade el supuesto de normalidad RLM.6 a Gauss–Markov.
Derivar la distribución muestral de $\hat{\beta}_j$ bajo el MLC y explicar por qué la estandarización conduce a un estadístico $t_{n-k-1}$ en lugar de una normal estándar.
Construir e interpretar un intervalo de confianza del $(1-\alpha)\times 100\%$ para un coeficiente individual.
Ejecutar un contraste de hipótesis en cuatro pasos (bilateral y unilateral) para un coeficiente individual, y leer el $p$-valor correspondiente.
Realizar un contraste $F$ de significatividad conjunta, distinguiendo el $F$ global del contraste restringido frente a no restringido.
Reproducir todo lo anterior en R utilizando summary(), confint(), qt(), qf(), pt(), pf(), anova() y aritmética manual sobre el modelo ajustado.

Pregunta motivadora

Una vez que mantenemos fijas educación, experiencia y edad, ¿importan conjuntamente la puntuación de IQ y los años de escolarización para el salario mensual — o podría haber surgido por azar la aportación aparente de la habilidad cognitiva y la educación?

Vimos IQ brevemente en el Capítulo 3 como candidato a proxy de la habilidad no observada. Ahora debemos decidir, formalmente, si los coeficientes que estimamos están lo bastante alejados de cero como para tomarlos en serio. Las herramientas del capítulo — estadísticos $t$, $p$-valores, intervalos de confianza y test $F$ — están diseñadas precisamente para esa decisión.

4.1 De la estimación a la inferencia

Capítulos 2 y 3 produjeron estimaciones puntuales $\hat{\beta}_j$ a partir de una muestra. Estos números son aleatorios: una muestra distinta habría dado números distintos. La cuestión de la inferencia es si lo que aprendimos de nuestra muestra nos permite decir algo creíble sobre el parámetro poblacional desconocido $\beta_j$.

La inferencia estadística proporciona dos herramientas complementarias (Wooldridge 2020):

Intervalos de confianza. Un rango de valores plausibles para el parámetro desconocido, con una probabilidad de cobertura calibrada a largo plazo.
Contrastes de hipótesis. Un procedimiento formal para decidir si los datos son compatibles con una afirmación específica sobre el parámetro — la más frecuente, que el parámetro es igual a cero.

Ambas herramientas dependen de conocer la distribución muestral de $\hat{\beta}_j$. Bajo Gauss–Markov solo conocemos su media ($\beta_j$) y su varianza; no conocemos su forma. Para decir algo preciso sobre probabilidades — “la probabilidad de observar un coeficiente tan alejado de cero, si la verdad es cero, es inferior al 1%” — necesitamos una distribución. Eso es lo que aporta el siguiente supuesto.

4.2 Los supuestos del Modelo Lineal Clásico (MLC)

Gauss–Markov nos dio insesgadez, una varianza con forma cerrada y la propiedad BLUE (ELIO) de MCO. Para inferencia exacta (en muestras finitas) necesitamos un supuesto adicional.

Definición: RLM.6 (Normalidad del término de error)

Condicional a los regresores $\mathbf{X}$, el error poblacional $u$ se distribuye normalmente con media cero y varianza constante:

\[ u \mid \mathbf{X} \;\sim\; \mathcal{N}(0,\,\sigma^2). \]

El conjunto completo RLM.1–RLM.6 se denomina supuestos del Modelo Lineal Clásico (MLC).

¿Por qué normalidad, y de dónde sale? En muchos contextos aplicados $u$ es la suma de un gran número de factores omitidos pequeños e independientes, y un razonamiento basado en el teorema central del límite sugiere que su distribución debería ser aproximadamente acampanada. El supuesto es fuerte: puede fallar gravemente con variables dependientes sesgadas como salarios o conteos. Veremos en el Capítulo 6 que tomar $\log$ de la variable dependiente suele bastar para que los residuos parezcan simétricos.

La recompensa es grande. Bajo RLM.1–RLM.6, el estimador MCO hereda la normalidad de $u$:

\[ \hat{\beta}_j \mid \mathbf{X} \;\sim\; \mathcal{N}\!\left(\beta_j,\,\operatorname{Var}(\hat{\beta}_j)\right). \]

Esta es una afirmación exacta que se cumple para cualquier tamaño muestral, no solo asintóticamente. Con $n$ grande, el teorema central del límite proporciona aproximadamente la misma conclusión incluso sin RLM.6, pero solo el MLC nos da inferencia exacta en muestras pequeñas.

Error frecuente: confundir la normalidad de $u$ con la normalidad de $y$

RLM.6 es una afirmación sobre el error $u$, condicional a los regresores. No es la afirmación de que la distribución marginal de $y$ sea normal. Los salarios, por ejemplo, son asimétricos a la derecha; eso no contradice por sí mismo RLM.6, porque la componente sistemática $\beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots$ puede absorber la asimetría.

4.3 La distribución $t$

Si $\sigma^2$ fuera conocida podríamos estandarizar $\hat{\beta}_j$ directamente:

\[ Z \;=\; \frac{\hat{\beta}_j - \beta_j}{\sqrt{\operatorname{Var}(\hat{\beta}_j)}} \;\sim\; \mathcal{N}(0,1). \]

En la práctica $\sigma^2$ es desconocida y se sustituye por el estimador MCO $\hat{\sigma}^2 = \mathrm{SSR}/(n-k-1)$. Sustituir $\hat{\sigma}^2$ en el error estándar introduce una fuente adicional de variabilidad, y el estadístico estandarizado deja de ser normal estándar: se distribuye según una $t$ con $n-k-1$ grados de libertad,

\[ t \;=\; \frac{\hat{\beta}_j - \beta_j}{\operatorname{se}(\hat{\beta}_j)} \;\sim\; t_{\,n-k-1}. \]

La distribución $t$ es simétrica, acampanada y centrada en cero, pero tiene colas más pesadas que $\mathcal{N}(0,1)$ — reflejo de la incertidumbre adicional al estimar $\sigma^2$. A medida que los grados de libertad $n-k-1$ crecen, las colas se adelgazan y $t_{n-k-1}$ converge a $\mathcal{N}(0,1)$. Para $n-k-1 \geq 120$ las dos distribuciones son prácticamente indistinguibles; en muestras pequeñas la $t$ es notablemente más ancha.

Esa es toda la razón por la que este capítulo usa valores críticos $t$ como $2{,}013$ (para $\alpha = 0{,}05$, $df = 45$) en lugar del familiar $1{,}96$ de la tabla normal.

4.4 Dos maneras de equivocarse

Un jurado puede condenar a un inocente, o puede dejar libre a un culpable. Ambos errores son malos y el sistema judicial está construido para sopesarlos. Un contraste de hipótesis se enfrenta exactamente a la misma estructura $2\times 2$.

	$H_0$ verdadera	$H_0$ falsa
Rechazar $H_0$	Error de tipo I (tamaño $\alpha$)	Rechazo correcto (potencia $1-\beta$)
No rechazar $H_0$	No rechazo correcto	Error de tipo II (probabilidad $\beta$)

Un error de tipo I consiste en rechazar una nula que en realidad es verdadera — el equivalente estadístico de condenar a un inocente. La probabilidad de cometerlo, calculada bajo $H_0$, se denomina tamaño del contraste:

\[ \alpha \;=\; \Pr\bigl(\text{rechazar } H_0 \,\big|\, H_0 \text{ verdadera}\bigr). \]

Las elecciones convencionales $\alpha = 0{,}10, 0{,}05, 0{,}01$ son precisamente las tasas de error de tipo I que estamos dispuestos a tolerar. Obsérvese el carácter condicional: $\alpha$ no es la probabilidad de que la nula sea verdadera dados los datos, ni la probabilidad de rechazar en un estudio concreto. Es la frecuencia, a largo plazo, de rechazos incorrectos entre los estudios en los que la nula resulta ser verdadera.

Un error de tipo II consiste en no rechazar una nula que en realidad es falsa — el equivalente a dejar libre a un culpable. Su probabilidad se denota $\beta$. Su complementario, $1 - \beta$, es la potencia del contraste: la probabilidad de detectar un efecto real cuando éste existe. A diferencia de $\alpha$, la potencia depende de tres cosas: cuán grande es el efecto verdadero, cuán ruidosos son los datos y cuántas observaciones tenemos. Los estudios con potencia insuficiente pasan por alto efectos reales de manera rutinaria; por eso un resultado “no significativo” en una muestra pequeña rara vez es informativo.

No hay almuerzo gratis. Manteniendo $n$ y el proceso generador de datos fijos, bajar $\alpha$ (un contraste más estricto) eleva $\beta$ (más efectos reales no detectados), y viceversa. La única manera de reducir simultáneamente ambas probabilidades de error es recopilar más datos — que estrechan la distribución muestral bajo $H_0$ y encogen ambas colas.

Error frecuente: confundir $\alpha$ con $p$, y “tamaño” con “significatividad”

El tamaño $\alpha$ se fija antes de ver los datos — es la tasa de error de tipo I a largo plazo que estamos dispuestos a aceptar. El $p$-valor se calcula después de ver los datos — es el menor $\alpha$ al que los datos llevarían a rechazar. Son dos objetos conceptualmente distintos, aunque comparten escala. De igual modo, el “nivel de significatividad del 5%” de un artículo se refiere a un $\alpha$ elegido, no a la probabilidad de error de ese estudio en concreto: cada estudio individual o rechazó correctamente o no lo hizo, y nunca lo sabremos.

Utilizaremos el vocabulario de “tamaño” y “potencia” repetidamente más adelante — en particular en §“El test $F$ de significatividad conjunta”, donde el tamaño de un procedimiento combinado (contrastar varias restricciones a la vez) es precisamente lo que motiva el test $F$ en primer lugar.

4.5 Intervalos de confianza

Definición: intervalo de confianza para $\beta_j$

Un intervalo de confianza del $(1-\alpha)\times 100\%$ para $\beta_j$ es

\[ \hat{\beta}_j \;\pm\; t_{\alpha/2,\,n-k-1}\,\cdot\,\operatorname{se}(\hat{\beta}_j), \]

donde $t_{\alpha/2,\,n-k-1}$ es el valor crítico de la distribución $t$ que deja probabilidad $\alpha/2$ en cada cola.

Para el intervalo del 95% canónico, $\alpha = 0{,}05$ y el valor crítico es $t_{0{,}025,\,n-k-1}$. Con muestras moderadamente grandes éste se acerca a $1{,}96$, pero en muestras pequeñas puede ser apreciablemente mayor.

Error frecuente: malinterpretar el “95%”

Un intervalo de confianza del 95% es una afirmación sobre el procedimiento, no sobre el intervalo concreto. Si extrajésemos muchas muestras independientes y construyésemos un intervalo en cada una, aproximadamente el 95% de esos intervalos contendrían el verdadero $\beta_j$. No es correcto decir que hay un 95% de probabilidad de que el intervalo concreto $[L, U]$ que hemos calculado de nuestra única muestra contenga $\beta_j$ — $\beta_j$ es un número fijo (aunque desconocido), y el intervalo realizado o lo cubre o no lo cubre.

Los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis bilaterales son dos caras de la misma moneda: un IC del $(1-\alpha)$ para $\beta_j$ contiene cero si y solo si el test $t$ bilateral de $H_0:\beta_j = 0$ al nivel $\alpha$ no rechaza.

4.6 Contraste de hipótesis en cuatro pasos

Contrastamos afirmaciones sobre un único coeficiente $\beta_j$ usando un procedimiento estándar en cuatro pasos. Sea $c$ el valor hipotetizado (habitualmente $c = 0$, “la variable no importa”).

Paso 1. Plantear $H_0$ y $H_1$. Hay tres formas útiles:

Bilateral: $H_0: \beta_j = c$ frente a $H_1: \beta_j \neq c$.
Unilateral a la derecha: $H_0: \beta_j \leq c$ frente a $H_1: \beta_j > c$.
Unilateral a la izquierda: $H_0: \beta_j \geq c$ frente a $H_1: \beta_j < c$.

La elección entre unilateral y bilateral viene determinada por la teoría económica, no por los datos: si la teoría nos dice a priori que $\beta_j$ no puede ser negativo, procede un test unilateral.

Paso 2. Elegir un nivel de significación $\alpha$ y leer el valor crítico. Las elecciones estándar son $\alpha = 0{,}10$, $0{,}05$, $0{,}01$. El valor crítico es

$t_{\alpha/2,\,n-k-1}$ para un test bilateral,
$t_{\alpha,\,n-k-1}$ para un test unilateral.

Paso 3. Calcular el estadístico $t$.

\[ t \;=\; \frac{\hat{\beta}_j - c}{\operatorname{se}(\hat{\beta}_j)}. \]

Para el caso por defecto $c = 0$ se reduce a $t = \hat{\beta}_j / \operatorname{se}(\hat{\beta}_j)$, que es exactamente el número que R muestra en la tercera columna de summary(lm(...)).

Paso 4. Comparar y concluir.

Bilateral: rechazar $H_0$ si $|t| > t_{\alpha/2,\,n-k-1}$.
Unilateral a la derecha: rechazar $H_0$ si $t > t_{\alpha,\,n-k-1}$.
Unilateral a la izquierda: rechazar $H_0$ si $t < -t_{\alpha,\,n-k-1}$.

Si rechazamos $H_0$ decimos que el coeficiente es estadísticamente significativo al nivel elegido. Si no rechazamos decimos que los datos son compatibles con $H_0$ — nunca “aceptamos” $H_0$, porque el test se diseñó para detectar desviaciones, no para confirmarla.

Error frecuente: significatividad estadística no es significatividad económica

Un coeficiente puede ser estadísticamente significativo ($p$-valor pequeño) pero económicamente diminuto, y un coeficiente puede ser económicamente grande pero estadísticamente no significativo en una muestra pequeña. Informe siempre de los dos aspectos: la magnitud de $\hat{\beta}_j$ en las unidades del problema y la precisión con la que se estima. Una rentabilidad del 1% por un año adicional de educación y otra del 10% son ambas “significativamente distintas de cero” en una muestra grande, pero solo una de ellas es relevante para la política pública.

4.7 El $p$-valor

El procedimiento de los cuatro pasos nos obliga a fijar $\alpha$ por adelantado. Una alternativa más informativa es presentar el $p$-valor.

Definición: $p$-valor

El $p$-valor es la probabilidad, calculada bajo $H_0$, de observar un estadístico al menos tan extremo como el que hemos obtenido. Equivalentemente, es el menor nivel de significación $\alpha$ al que rechazaríamos $H_0$.

Para un test bilateral de $H_0:\beta_j = 0$ con estadístico calculado $t$,

\[ p \;=\; 2 \cdot \Pr\!\left(T_{n-k-1} > |t|\right) \;=\; 2\,\bigl[1 - F_t(|t|;\,n-k-1)\bigr], \]

donde $F_t$ es la función de distribución de la $t_{n-k-1}$. Para un test unilateral el $p$-valor es exactamente la mitad del anterior (cuando el signo de $\hat{\beta}_j$ coincide con la alternativa).

Reglas prácticas convencionales (Wooldridge 2020):

$p < 0{,}01$: evidencia fuerte contra $H_0$ (rechazar al nivel del 1%).
$p < 0{,}05$: evidencia contra $H_0$ (rechazar al nivel del 5%).
$p < 0{,}10$: evidencia débil contra $H_0$ (rechazar al nivel del 10%).
$p \geq 0{,}10$: evidencia insuficiente para rechazar $H_0$.

R muestra $p$-valores bilaterales por defecto en la columna Pr(>|t|) de summary(lm(...)), junto con asteriscos de significatividad: *** para $p < 0{,}001$, ** para $p < 0{,}01$, * para $p < 0{,}05$, . para $p < 0{,}10$.

Error frecuente: un $p$-valor pequeño no es un certificado causal

La significatividad estadística nos dice que es improbable que $\hat{\beta}_j$ haya surgido por ruido muestral si la verdad fuese cero. No dice nada sobre si $x_j$ causa $y$. La interpretación causal sigue exigiendo el supuesto poblacional $\mathbb{E}[u \mid \mathbf{X}] = 0$ (RLM.4) — ningún $p$-valor, por pequeño que sea, puede salvar una regresión contaminada por sesgo de variable omitida o por causalidad inversa.

4.8 El test $F$ de significatividad conjunta

Los tests $t$ sobre un único coeficiente son la herramienta adecuada cuando tenemos un parámetro en mente. Sin embargo, a menudo la pregunta es si varios coeficientes son conjuntamente cero:

“¿Son educ y IQ conjuntamente irrelevantes para los salarios una vez que controlamos por horas, experiencia y edad?”
“¿Aportan algo al modelo los términos cuadráticos de un polinomio en exper?”
“¿Importa alguno de los regresores — merece la pena correr la regresión global?”

Estas son hipótesis conjuntas, y requieren un contraste conjunto. Hacer $q$ tests $t$ separados no responde a la pregunta conjunta, por dos razones. Primera, cada test $t$ individual tiene tamaño $\alpha$, pero el procedimiento combinado — “rechazar la nula conjunta si rechaza alguno de los tests $t$ individuales” — tiene una tasa de error de tipo I que crece con el número de comparaciones. Con $q = 2$ tests independientes, cada uno de tamaño $0{,}05$, la probabilidad global de rechazar al menos una nula verdadera es aproximadamente $1 - (1 - 0{,}05)^2 \approx 0{,}10$, no $0{,}05$. Segunda, dos coeficientes pueden ser conjuntamente informativos aun cuando cada uno sea individualmente marginal; correrlos por separado tira a la basura la información contenida en su combinación.

4.8.1 Modelos restringido y no restringido

Sea el modelo no restringido la regresión con $k$ pendientes,

\[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k + u. \]

Supongamos que queremos contrastar que las últimas $q$ pendientes son cero,

\[ H_0:\;\beta_{k-q+1} = \beta_{k-q+2} = \cdots = \beta_k = 0, \]

frente a la alternativa de que al menos uno de ellos sea distinto de cero. El modelo restringido impone $H_0$ eliminando esos $q$ regresores:

\[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_{k-q} x_{k-q} + u. \]

Sean $\mathrm{SSR}_U$ y $\mathrm{SSR}_R$ las sumas de cuadrados de los residuos de los modelos no restringido y restringido. Como eliminar regresores nunca reduce la SSR, siempre se cumple $\mathrm{SSR}_R \geq \mathrm{SSR}_U$; la cuestión es si la brecha es suficientemente grande para ser incompatible con $H_0$.

Definición: el estadístico $F$

Bajo $H_0$ y RLM.1–RLM.6,

\[ F \;=\; \frac{(\mathrm{SSR}_R - \mathrm{SSR}_U)/q}{\mathrm{SSR}_U/(n-k-1)} \;\sim\; F_{q,\,n-k-1}. \]

Rechazar $H_0$ al nivel $\alpha$ si $F > F_{q,\,n-k-1,\,\alpha}$, el valor crítico superior-$\alpha$ de la distribución $F$ con $q$ y $n-k-1$ grados de libertad.

Una formulación equivalente utiliza el $R^2$ de cada modelo:

\[ F \;=\; \frac{(R^2_U - R^2_R)/q}{(1 - R^2_U)/(n-k-1)}. \]

Ambas fórmulas son algebraicamente idénticas siempre que $y$ sea la misma en ambas regresiones; difieren solo cuando el modelo restringido tiene una variable dependiente distinta (por ejemplo, un contraste $F$ de $\log y$ frente a $y$, que la fórmula anterior no cubre).

4.8.2 El test $F$ global

Un caso particular es el contraste de que todas las pendientes son cero,

\[ H_0:\;\beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_k = 0. \]

Aquí el modelo restringido es la regresión sobre una constante, y $R^2_R = 0$. El estadístico $F$ se reduce a

\[ F \;=\; \frac{R^2/k}{(1-R^2)/(n-k-1)}, \]

que es exactamente el número que R imprime en la línea final de summary(lm(...)) bajo “F-statistic”, junto con su $p$-valor.

4.8.3 $F$ frente a $t$: una identidad útil

Para una única restricción ($q = 1$), el estadístico $F$ es igual al cuadrado del estadístico $t$ correspondiente:

\[ F \;=\; t^2, \qquad F_{1,\,n-k-1} \;=\; \bigl(t_{n-k-1}\bigr)^2. \]

Los contrastes $t$ y $F$ ofrecen conclusiones idénticas en este caso; la maquinaria $F$ solo resulta estrictamente necesaria cuando $q \geq 2$.

4.9 Práctica: Inferencia en R

Trabajamos con wage2 del paquete wooldridge: una sección cruzada de $n = 935$ hombres estadounidenses procedentes del National Longitudinal Survey de 1980, con información sobre salario mensual (wage), horas semanales (hours), una puntuación en un test de cociente intelectual (IQ), años de escolarización (educ), años de experiencia laboral (exper), antigüedad en el empleo actual (tenure) y edad. El objetivo es trasladar la maquinaria inferencial de los cuatro pasos a órdenes de R y luego comprobar que los atajos integrados dan las mismas respuestas.

Code

library(wooldridge)
data("wage2")

4.9.1 Una primera regresión y su `summary()`

Empezamos con una regresión simple de salario mensual sobre horas semanales:

Code

model1 <- lm(wage ~ hours, data = wage2)
summary(model1)


Call:
lm(formula = wage ~ hours, data = wage2)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-839.72 -287.21  -52.38  200.46 2131.26 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  981.315     81.575   12.03   <2e-16 ***
hours         -0.532      1.832   -0.29    0.772    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 404.6 on 933 degrees of freedom
Multiple R-squared:  9.033e-05, Adjusted R-squared:  -0.0009814 
F-statistic: 0.08429 on 1 and 933 DF,  p-value: 0.7716

El bloque summary() informa, para cada coeficiente, de la estimación $\hat{\beta}_j$, su error estándar $\operatorname{se}(\hat{\beta}_j)$, el estadístico $t$ $\hat{\beta}_j/\operatorname{se}(\hat{\beta}_j)$ y el $p$-valor bilateral. Al pie vemos el estadístico $F$ global y su $p$-valor, que contrastan $H_0: \beta_{\text{hours}} = 0$ en este caso con un único regresor.

Pasemos ahora a una especificación más rica:

Code

model2 <- lm(wage ~ hours + educ + exper + IQ + age, data = wage2)
summary(model2)


Call:
lm(formula = wage ~ hours + educ + exper + IQ + age, data = wage2)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-883.49 -238.11  -47.36  190.09 2144.24 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -778.4403   171.2506  -4.546 6.20e-06 ***
hours         -2.5406     1.6811  -1.511  0.13104    
educ          52.4505     7.2981   7.187 1.36e-12 ***
exper         10.9390     3.7196   2.941  0.00335 ** 
IQ             5.2917     0.9383   5.640 2.26e-08 ***
age           14.4836     4.6657   3.104  0.00197 ** 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 368.9 on 929 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.1722,    Adjusted R-squared:  0.1678 
F-statistic: 38.66 on 5 and 929 DF,  p-value: < 2.2e-16

Leemos la tabla línea por línea: educ e IQ tienen estadísticos $t$ grandes y $p$-valores diminutos, así que cada uno es individualmente significativo al nivel del 1% incluso tras controlar por los demás. hours es negativa y significativa (los hombres que trabajan más horas ganan ligeramente menos por hora trabajada a la semana, condicional al resto de covariables — una pista de que las horas correlacionan con la composición ocupacional). exper y age resultan estadísticamente indistinguibles de cero en esta especificación.

4.9.2 Intervalos de confianza manuales con `qt()`

Extraemos coeficientes y errores estándar de manera programática y construimos un IC del 95% a mano.

Code

beta_hat <- coef(model2)
se_hat   <- summary(model2)$coefficients[, "Std. Error"]

n  <- nobs(model2)
k  <- length(beta_hat) - 1     # número de coeficientes pendiente
df <- n - k - 1

t_crit <- qt(0.975, df)
t_crit                           # valor crítico t_{0.025, df}

[1] 1.962521

El valor crítico se acerca a $1{,}96$ porque los grados de libertad son grandes, pero no es idéntico. El IC manual del 95% para $\beta_{\text{IQ}}$ es

Code

IQ_LB <- beta_hat["IQ"] - t_crit * se_hat["IQ"]
IQ_UB <- beta_hat["IQ"] + t_crit * se_hat["IQ"]
c(lower = IQ_LB, upper = IQ_UB)

lower.IQ upper.IQ 
3.450211 7.133145

y para $\beta_{\text{hours}}$:

Code

hours_LB <- beta_hat["hours"] - t_crit * se_hat["hours"]
hours_UB <- beta_hat["hours"] + t_crit * se_hat["hours"]
c(lower = hours_LB, upper = hours_UB)

lower.hours upper.hours 
 -5.8397528   0.7584696

El atajo integrado entrega todos los intervalos en una llamada:

Code

confint(model2, level = 0.95)

                   2.5 %       97.5 %
(Intercept) -1114.523218 -442.3574662
hours          -5.839753    0.7584696
educ           38.127749   66.7731627
exper           3.639234   18.2387119
IQ              3.450211    7.1331452
age             5.327113   23.6400802

Los números de las filas IQ y hours coinciden con lo que calculamos manualmente. Obsérvese que el intervalo del 95% para IQ excluye el cero (coherente con el $p$-valor pequeño en summary()), mientras que los intervalos para exper y age sí contienen cero (coherente con su no significatividad).

4.9.3 Test $t$ manual para un coeficiente individual

Supongamos que queremos contrastar $H_0: \beta_{\text{educ}} = 0$ frente a la alternativa bilateral al nivel del 5%. Paso a paso:

Code

b_educ  <- coef(model2)["educ"]
se_educ <- summary(model2)$coefficients["educ", "Std. Error"]

t_stat  <- b_educ / se_educ
p_value <- 2 * pt(-abs(t_stat), df)   # p-valor bilateral

c(t = t_stat, p = p_value)

      t.educ       p.educ 
7.186848e+00 1.361083e-12

Code

summary(model2)$coefficients["educ", c("t value", "Pr(>|t|)")]

     t value     Pr(>|t|) 
7.186848e+00 1.361083e-12

Las dos últimas líneas son idénticas (salvo redondeo): el cálculo manual reproduce exactamente lo que imprime R. El estadístico $t$ está muy por encima del valor crítico del 5%, aproximadamente $1{,}96$, así que rechazamos $H_0$. La educación tiene un efecto parcial estadísticamente significativo sobre los ingresos mensuales incluso tras controlar por horas, experiencia, cociente intelectual y edad.

4.9.4 Test $F$ manual de significatividad conjunta

Pasemos a la pregunta principal del capítulo: ¿son educ e IQ conjuntamente relevantes una vez que hours, exper y age están en el modelo? Formalmente,

\[ H_0:\;\beta_{\text{educ}} = \beta_{\text{IQ}} = 0 \quad\text{frente a}\quad H_1:\;\text{al menos uno de ellos }\neq 0, \]

así que $q = 2$.

El modelo no restringido es model2. El modelo restringido suprime educ e IQ:

Code

model3 <- lm(wage ~ hours + exper + age, data = wage2)
summary(model3)


Call:
lm(formula = wage ~ hours + exper + age, data = wage2)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-749.69 -279.16  -48.16  203.20 2208.66 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  224.411    162.071   1.385  0.16649    
hours         -1.175      1.812  -0.649  0.51665    
exper         -9.430      3.443  -2.739  0.00628 ** 
age           27.032      4.838   5.587 3.03e-08 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 398.4 on 931 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.03253,   Adjusted R-squared:  0.02941 
F-statistic: 10.44 on 3 and 931 DF,  p-value: 9.332e-07

Calculamos las SSR a mano:

Code

SSR_u <- sum(residuals(model2)^2)
SSR_r <- sum(residuals(model3)^2)
c(SSR_unrestricted = SSR_u, SSR_restricted = SSR_r)

SSR_unrestricted   SSR_restricted 
       126414757        147747973

Ahora el estadístico $F$:

Code

q    <- 2                # restricciones
df_u <- n - k - 1        # gl del modelo no restringido

F_stat <- ((SSR_r - SSR_u) / q) / (SSR_u / df_u)
F_crit <- qf(0.95, df1 = q, df2 = df_u)
p_val  <- 1 - pf(F_stat, df1 = q, df2 = df_u)

c(F = F_stat, F_crit_5pct = F_crit, p = p_val)

          F F_crit_5pct           p 
  78.387043    3.005413    0.000000

El estadístico $F$ está muy por encima del valor crítico del 5% y el $p$-valor es esencialmente cero, así que rechazamos contundentemente $H_0$: educ e IQ son determinantes conjuntamente significativos de wage.

R proporciona el mismo contraste en una sola línea mediante anova(), que compara dos modelos anidados:

Code

anova(model3, model2)

Analysis of Variance Table

Model 1: wage ~ hours + exper + age
Model 2: wage ~ hours + educ + exper + IQ + age
  Res.Df       RSS Df Sum of Sq      F    Pr(>F)    
1    931 147747973                                  
2    929 126414757  2  21333216 78.387 < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Las columnas F y Pr(>F) reproducen el cálculo manual. Informar del test $F$ con anova() es el flujo de trabajo recomendado; la derivación manual importa porque permite ver con precisión qué se está comparando.

4.9.5 $F = t^2$ en un contraste con una sola restricción

La identidad del final del §4.7 es fácil de comprobar numéricamente. Contrastamos $H_0: \beta_{\text{educ}} = 0$ por los dos caminos:

Code

t_educ <- summary(model2)$coefficients["educ", "t value"]

mR <- lm(wage ~ hours + exper + IQ + age, data = wage2)   # quitar solo educ
ft <- anova(mR, model2)
F_single <- ft$F[2]

c(t_squared = t_educ^2, F = F_single)

t_squared         F 
 51.65078  51.65078

Los dos números coinciden, como predice el álgebra.

4.9.6 Unilateral frente a bilateral

Supongamos que la teoría nos dice que un año adicional de experiencia no puede reducir los ingresos mensuales, de modo que la alternativa relevante es unilateral a la derecha: $H_0: \beta_{\text{exper}} \leq 0$ frente a $H_1: \beta_{\text{exper}} > 0$. El mismo estadístico $t$ alimenta un $p$-valor distinto:

Code

co <- summary(model2)$coefficients["exper", ]
t_exper <- co["t value"]

p_one_sided <- if (t_exper > 0) 1 - pt(t_exper, df) else 1
# ^ p-valor de la cola derecha. Solo es significativo cuando la estimación
#   ya está del lado de la alternativa (aquí t_exper > 0). Si la estimación
#   tuviera el signo contrario al de una alternativa unilateral a la derecha,
#   el p-valor unilateral correcto sería ~1 ("ninguna evidencia en la
#   dirección de la alternativa"), NO el ingenuo 1 - pt(t_exper, df), que
#   devolvería un valor superior a 0,5.
p_two_sided <- 2 * pt(-abs(t_exper), df)   # por defecto en summary()

c(t = t_exper, p_one_sided = p_one_sided, p_two_sided = p_two_sided)

          t.t value p_one_sided.t value p_two_sided.t value 
        2.940922029         0.001676777         0.003353554

Cuando $t > 0$ y la alternativa está en la derecha, el $p$-valor unilateral es exactamente la mitad del bilateral. Un coeficiente marginal con el test bilateral por defecto puede pasar a ser claramente significativo en cuanto estemos dispuestos a comprometernos con un signo a priori — pero ese compromiso debe venir de la economía, no de fisgonear primero en los datos.

Auto-evaluación

Seis preguntas cortas de opción múltiple. Inténtelas antes de abrir la respuesta.

P1. Qué nos aporta RLM.6

Añadir RLM.6 (normalidad de $u$) a los supuestos de Gauss–Markov nos permite:

A. Demostrar que MCO es insesgado.
B. Demostrar que MCO tiene la menor varianza entre los estimadores lineales insesgados.
C. Derivar la distribución exacta en muestras finitas de $\hat{\beta}_j$ y realizar tests $t$ y $F$ con cualquier tamaño muestral.
D. Estimar $\sigma^2$.

Respuesta: C. La insesgadez (A) se sigue de RLM.1–RLM.4; la propiedad BLUE (B) de RLM.1–RLM.5; el estimador $\hat{\sigma}^2$ (D) está definido sin necesidad de RLM.6. Solo RLM.6 nos da normalidad exacta de $\hat{\beta}_j$ y, por tanto, inferencia $t$ y $F$ exacta en muestras finitas.

P2. ¿Por qué $t$ y no $z$?

Bajo RLM.1–RLM.6 usamos $t_{n-k-1}$ en lugar de $\mathcal{N}(0,1)$ para inferencia sobre un coeficiente individual porque:

A. MCO es sesgado en muestras finitas.
B. El error estándar utiliza una $\hat{\sigma}^2$ estimada, y el estadístico estandarizado resultante tiene colas más pesadas que la normal estándar.
C. El término de error es heteroscedástico.
D. Los regresores son no estocásticos.

Respuesta: B. Sustituir la $\sigma$ desconocida en el error estándar por $\hat{\sigma}$ introduce variabilidad adicional que la distribución $t$ contabiliza. A medida que $n - k - 1 \to \infty$, la $t$ converge a la normal estándar.

P3. Un intervalo de confianza del 95%

Un intervalo de confianza del 95% para $\beta_j$ que excluye el cero implica:

A. El test $t$ bilateral de $H_0:\beta_j = 0$ rechaza al nivel del 5%.
B. El verdadero $\beta_j$ es definitivamente distinto de cero.
C. El coeficiente estimado es económicamente grande.
D. MCO es insesgado.

Respuesta: A. Un IC y un test bilateral al nivel correspondiente son algebraicamente equivalentes: el IC excluye el valor nulo si y solo si el test rechaza. El IC no dice nada sobre magnitud (C) ni sobre el sesgo de MCO (D), y una única muestra no puede certificar (B).

P4. Lectura de un $p$-valor

Un coeficiente tiene un $p$-valor bilateral de $0{,}03$. ¿Qué afirmación es correcta?

A. Es estadísticamente significativo al nivel del 5% pero no al del 1%.
B. Es significativo a todos los niveles convencionales.
C. No es significativo al nivel del 5%.
D. El coeficiente es económicamente importante.

Respuesta: A. Recuérdese que $p$ es el menor $\alpha$ al que se rechaza; $0{,}01 < 0{,}03 < 0{,}05$ sitúa la significatividad entre los niveles del 1% y el 5%. La significatividad estadística no contiene información sobre la magnitud económica.

P5. El estadístico $F$

Para contrastar $H_0:\beta_1 = \beta_2 = 0$ conjuntamente en una regresión con $k$ pendientes y tamaño muestral $n$, utilizamos:

A. Dos tests $t$ separados, uno para cada coeficiente.
B. $F = \dfrac{(\mathrm{SSR}_R - \mathrm{SSR}_U)/q}{\mathrm{SSR}_U/(n-k-1)}$, con distribución $F_{q,\,n-k-1}$ bajo $H_0$.
C. Un test $\chi^2$ sobre $\hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2$.
D. Un test $z$, comparando la suma de las estimaciones con $1{,}96$.

Respuesta: B. Los tests $t$ separados no controlan la probabilidad de rechazar al menos una hipótesis nula verdadera: con $q$ tests individuales, cada uno de tamaño $\alpha$, la tasa de error de tipo I combinada crece por encima de $\alpha$. El test $F$ está construido para que su tamaño sobre la nula conjunta sea exactamente $\alpha$. Los tests $t$ separados también pasan por alto el caso en que dos regresores son individualmente débiles pero conjuntamente informativos.

P6. Significatividad frente a causalidad

Un regresor $x_j$ tiene un coeficiente con $p < 0{,}001$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

A. Un $p$-valor pequeño descarta el sesgo de variable omitida.
B. La significatividad estadística demuestra que $x_j$ causa $y$.
C. Significatividad estadística e identificación causal son equivalentes.
D. El $p$-valor nos dice que es poco probable que $\hat{\beta}_j$ sea cero por azar, pero no dice nada sobre si $x_j$ causa $y$ — la identificación causal sigue exigiendo $\mathbb{E}[u\mid \mathbf{X}] = 0$.

Respuesta: D. La §4.6 es explícita: la inferencia consiste en descartar el ruido muestral, no la confusión.

Ejercicios

Ejercicio 4.1 ★ — Lectura de una salida de summary(). Usando el conjunto de datos wage2, estime el modelo

\[ \mathrm{wage} = \beta_0 + \beta_1\,\mathrm{educ} + \beta_2\,\mathrm{exper} + \beta_3\,\mathrm{tenure} + u \]

con lm() e inspeccione summary(). (a) ¿Qué coeficientes son significativos al nivel del 5%? (b) Indique la magnitud y el error estándar de $\hat{\beta}_1$; ¿cuál es su interpretación económica? (c) Enuncie la hipótesis nula que contrasta el estadístico $F$ global situado al pie de summary().

Mostrar respuesta

Las tres pendientes son positivas y tienen $p$-valores muy por debajo de $0{,}05$ (cada estadístico $t$ supera holgadamente $2$ en valor absoluto), de manera que educ, exper y tenure son individualmente significativas al nivel del 5%. (b) $\hat{\beta}_1$ es aproximadamente de 60 dólares mensuales por año adicional de escolarización, con un error estándar en torno a 6 — un efecto a la vez estadísticamente y económicamente relevante. (c) El estadístico $F$ global contrasta $H_0:\beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0$ (ningún regresor importa) frente a la alternativa de que al menos una pendiente sea no nula.

Ejercicio 4.2 ★ — IC del 95% manual. Para el mismo modelo, construya desde cero un intervalo de confianza del 95% para $\beta_{\mathrm{educ}}$ usando coef(), summary()$coefficients[, "Std. Error"] y qt(). Compruebe su intervalo contra confint(m)["educ", ]. ¿Contiene el intervalo al cero? ¿Qué conclusión se sigue para el test $t$ bilateral de $H_0:\beta_{\mathrm{educ}} = 0$ al nivel del 5%?

Mostrar respuesta

m  <- lm(wage ~ educ + exper + tenure, data = wage2)
b  <- coef(m)["educ"]
se <- summary(m)$coefficients["educ", "Std. Error"]
df <- nobs(m) - length(coef(m))    # n - k - 1
tc <- qt(0.975, df)
ci_manual <- c(b - tc * se, b + tc * se)
confint(m)["educ", ]                # debería coincidir

El intervalo no contiene cero, así que el test $t$ bilateral de $H_0:\beta_{\mathrm{educ}} = 0$ al nivel del 5% rechaza — coherente con el (diminuto) valor Pr(>|t|) de summary().

Ejercicio 4.3 ★ — Test $F$ manual. En el modelo $\mathrm{wage} = \beta_0 + \beta_1\,\mathrm{educ} + \beta_2\,\mathrm{exper} + \beta_3\,\mathrm{tenure} + u$ sobre wage2, contraste $H_0:\beta_2 = \beta_3 = 0$ comparando las SSR de los modelos no restringido y restringido (suprimiendo exper y tenure). Calcule el valor crítico con qf() al nivel del 5% y el $p$-valor con pf(). Compruebe el resultado con anova().

Mostrar respuesta

mU <- lm(wage ~ educ + exper + tenure, data = wage2)
mR <- lm(wage ~ educ,                  data = wage2)

SSR_u <- sum(resid(mU)^2)
SSR_r <- sum(resid(mR)^2)
n  <- nobs(mU); k <- length(coef(mU)) - 1; q <- 2
df_u <- n - k - 1

F_stat <- ((SSR_r - SSR_u) / q) / (SSR_u / df_u)
F_crit <- qf(0.95, q, df_u)
p_val  <- 1 - pf(F_stat, q, df_u)
anova(mR, mU)

El estadístico $F$ está muy por encima de $F_{2,\,n-k-1,\,0{,}05}$ y el $p$-valor es prácticamente cero. Rechazamos $H_0$: experiencia y antigüedad son conjuntamente significativas dada la educación.

Ejercicio 4.4 ★★ — Test unilateral desde la teoría. La teoría económica sugiere que un año adicional de antigüedad no puede disminuir los ingresos mensuales, así que la alternativa relevante es unilateral a la derecha: $H_0:\beta_{\mathrm{tenure}} \leq 0$ frente a $H_1:\beta_{\mathrm{tenure}} > 0$. Usando la regresión de wage sobre educ + exper + tenure, calcule el $p$-valor unilateral a partir de la salida de summary() y decida al nivel del 5%. ¿Cómo se compara con el $p$-valor bilateral por defecto que imprime R?

Una respuesta completa figura en la Edición del Profesor.

Ejercicio 4.5 ★★ — Significatividad conjunta frente a individual. En el modelo del Ejercicio 4.1, añada IQ y age como regresores. (a) ¿Son IQ y age individualmente significativas al nivel del 5%? (b) ¿Son conjuntamente significativas al nivel del 5% (use anova())? (c) Construya un ejemplo, o explique con palabras, en el que dos regresores sean individualmente no significativos pero conjuntamente sí. ¿Qué característica de los datos provoca esa diferencia?

Una respuesta completa figura en la Edición del Profesor.

Ejercicio 4.6 ★★★ — $F$ a partir de $R^2$. Demuestre, partiendo de la fórmula basada en la SSR, que siempre que los modelos no restringido y restringido compartan la misma variable dependiente, el estadístico $F$ puede escribirse como

\[ F \;=\; \frac{(R^2_U - R^2_R)/q}{(1 - R^2_U)/(n-k-1)}. \]

A continuación, compruebe la identidad numéricamente para el test $F$ de $H_0:\beta_{\mathrm{exper}} = \beta_{\mathrm{tenure}} = 0$ del Ejercicio 4.3, extrayendo los dos valores $R^2$ de summary() y sustituyéndolos. ¿Por qué falla la fórmula si la variable dependiente del modelo restringido es $\log(\mathrm{wage})$ en lugar de $\mathrm{wage}$?

Una respuesta completa figura en la Edición del Profesor.

Wooldridge, Jeffrey M. 2020. Introductory Econometrics: A Modern Approach. 7th ed. Cengage Learning.

	\(H_0\) verdadera	\(H_0\) falsa
Rechazar \(H_0\)	Error de tipo I (tamaño \(\alpha\))	Rechazo correcto (potencia \(1-\beta\))
No rechazar \(H_0\)	No rechazo correcto	Error de tipo II (probabilidad \(\beta\))

4 Inferencia

Objetivos

Pregunta motivadora

4.1 De la estimación a la inferencia

4.2 Los supuestos del Modelo Lineal Clásico (MLC)

4.3 La distribución \(t\)

4.4 Dos maneras de equivocarse

4.5 Intervalos de confianza

4.6 Contraste de hipótesis en cuatro pasos

4.7 El \(p\)-valor

4.8 El test \(F\) de significatividad conjunta

4.8.1 Modelos restringido y no restringido

4.8.2 El test \(F\) global

4.8.3 \(F\) frente a \(t\): una identidad útil

4.9 Práctica: Inferencia en R

4.9.1 Una primera regresión y su `summary()`

4.9.2 Intervalos de confianza manuales con `qt()`

4.9.3 Test \(t\) manual para un coeficiente individual

4.9.4 Test \(F\) manual de significatividad conjunta

4.9.5 \(F = t^2\) en un contraste con una sola restricción

4.9.6 Unilateral frente a bilateral

Auto-evaluación

Ejercicios

Objetivos

Pregunta motivadora

4.1 De la estimación a la inferencia

4.2 Los supuestos del Modelo Lineal Clásico (MLC)

4.3 La distribución \(t\)

4.4 Dos maneras de equivocarse

4.5 Intervalos de confianza

4.6 Contraste de hipótesis en cuatro pasos

4.7 El \(p\)-valor

4.8 El test \(F\) de significatividad conjunta

4.8.1 Modelos restringido y no restringido

4.8.2 El test \(F\) global

4.8.3 \(F\) frente a \(t\): una identidad útil

4.9 Práctica: Inferencia en R

4.9.1 Una primera regresión y su summary()

4.9.2 Intervalos de confianza manuales con qt()

4.9.3 Test \(t\) manual para un coeficiente individual

4.9.4 Test \(F\) manual de significatividad conjunta

4.9.5 \(F = t^2\) en un contraste con una sola restricción

4.9.6 Unilateral frente a bilateral

Auto-evaluación

Ejercicios

4.9.1 Una primera regresión y su `summary()`

4.9.2 Intervalos de confianza manuales con `qt()`